लेकिन यह सबसे बड़ा नहीं है और गणितज्ञों की पूर्णता की खोज जारी रहेगी
सहस्राब्दियों पहले यूक्लिड ने सिद्ध कर दिया था कि अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है। प्रोफ़ेसर जॉन वोइट मेर्सन अभाज्य संख्या की सबसे हालिया खोज को देखते हैं, जो अब तक पाई गई सबसे बड़ी संख्या है, और क्रिप्टोग्राफी में व्यावहारिक उपयोग के साथ अनंत की सुंदरता पर विचार करते हैं।
इकाइयों की एक विशाल श्रृंखला से बनी एक संख्या की कल्पना करें: 1111111…111। विशेष रूप से, एक पंक्ति में 136,279,841। यदि हम कागज की इतनी सारी शीटों को ढेर कर दें, तो परिणामी टॉवर समताप मंडल में फैल जाएगा।
यदि हम इस संख्या को कंप्यूटर में बाइनरी रूप में (केवल एक और शून्य का उपयोग करके) लिखते हैं, तो यह केवल लगभग 16 मेगाबाइट भरेगा, एक छोटी वीडियो क्लिप से अधिक नहीं। संख्याओं को दशमलव में लिखने के अधिक परिचित तरीके में परिवर्तित करने पर, यह संख्या – यह 8,816,943,275… से शुरू होती है और समाप्त होती है…076,706,219,486,871,551 – में 41 मिलियन से अधिक अंक होंगे। इससे एक किताब में 20,000 पन्ने भर जायेंगे।
इस संख्या को लिखने का दूसरा तरीका है 2136,279,841 – 1. इसके बारे में कुछ खास बातें हैं.
सबसे पहले, यह एक अभाज्य संख्या है (अर्थात यह केवल स्वयं और एक से विभाज्य है)। दूसरा, इसे मेर्सन प्राइम कहा जाता है (हम इसका मतलब समझेंगे)। और तीसरा, यह आज तक किसी गणितीय खोज में खोजी गई सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है, जिसका इतिहास 2000 वर्ष से भी अधिक पुराना है।
खोज
यह खोज कि यह संख्या (संक्षेप में M136279841 के रूप में जाना जाता है) एक प्राइम है, 12 अक्टूबर 20204 को सैन जोस, कैलिफ़ोर्निया के 36 वर्षीय शोधकर्ता ल्यूक ड्यूरेंट द्वारा की गई थी। ड्यूरेंट उन हजारों लोगों में से एक है जो ग्रेट इंटरनेट मेर्सन प्राइम सर्च या जीआईएमपीएस नामक लंबे समय से चल रहे स्वयंसेवक प्राइम-हंटिंग प्रयास के हिस्से के रूप में काम कर रहे हैं।
एक अभाज्य संख्या जो दो की किसी घात से एक कम है (या जिसे गणितज्ञ 2 लिखते हैं पी – 1) को फ़्रांसीसी भिक्षु मारिन मर्सेन के नाम पर मेर्सेन प्राइम कहा जाता है, जिन्होंने 350 साल से भी पहले उनकी जांच की थी। पहले कुछ मेरसेन अभाज्य संख्याएँ 3, 7, 31 और 127 हैं।
ड्यूरैंट ने गणितीय एल्गोरिदम, व्यावहारिक इंजीनियरिंग और विशाल कम्प्यूटेशनल शक्ति के संयोजन के माध्यम से अपनी खोज की। जहां पहले पारंपरिक कंप्यूटर प्रोसेसर (सीपीयू) का उपयोग करते हुए बड़े प्राइम पाए गए हैं, यह खोज एक अलग प्रकार के प्रोसेसर का उपयोग करने वाली पहली खोज है जिसे जीपीयू कहा जाता है।
जीपीयू को मूल रूप से ग्राफिक्स और वीडियो के प्रतिपादन को तेज करने के लिए डिज़ाइन किया गया था, और हाल ही में क्रिप्टोकरेंसी को माइन करने और कृत्रिम बुद्धिमत्ता को शक्ति प्रदान करने के लिए पुन: उपयोग किया गया है।
प्रमुख जीपीयू निर्माता एनवीआईडीआईए के पूर्व कर्मचारी डुरंट ने 17 देशों में फैले एक प्रकार के “क्लाउड सुपरकंप्यूटर” को बनाने के लिए क्लाउड में शक्तिशाली जीपीयू का उपयोग किया। भाग्यशाली GPU डबलिन, आयरलैंड में स्थित एक NVIDIA A100 प्रोसेसर था।
अभाज्य संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ
खोज के रोमांच से परे, यह प्रगति एक ऐसी कहानी को जारी रखती है जो सहस्राब्दियों तक चली जाती है। गणितज्ञों के मेर्सन प्राइम्स से आकर्षित होने का एक कारण यह है कि वे तथाकथित “पूर्ण” संख्याओं से जुड़े हुए हैं।
एक संख्या पूर्ण होती है यदि, जब आप उसे ठीक से विभाजित करने वाली सभी संख्याओं को एक साथ जोड़ते हैं, तो वे संख्या में ही जुड़ जाती हैं। उदाहरण के लिए, छह एक पूर्ण संख्या है क्योंकि 6 = 2 × 3 = 1 + 2 + 3. इसी तरह, 28 = 4 × 7 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
प्रत्येक मेरसेन प्राइम के लिए, एक सम पूर्ण संख्या भी होती है। (गणित की सबसे पुरानी अधूरी समस्याओं में से एक में, यह ज्ञात नहीं है कि कोई विषम पूर्ण संख्याएँ हैं या नहीं।)
पूरे इतिहास में संपूर्ण संख्याओं ने मनुष्यों को आकर्षित किया है। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक इब्रानियों के साथ-साथ सेंट ऑगस्टीन ने छह को वास्तव में एक आदर्श संख्या माना, क्योंकि भगवान ने ठीक छह दिनों में (सातवें पर विश्राम करते हुए) पृथ्वी का निर्माण किया था।
व्यावहारिक अभाज्य संख्याएँ
अभाज्य संख्याओं का अध्ययन केवल एक ऐतिहासिक जिज्ञासा नहीं है। आधुनिक क्रिप्टोग्राफी के लिए संख्या सिद्धांत भी आवश्यक है। उदाहरण के लिए, कई वेबसाइटों की सुरक्षा बड़ी संख्या के अभाज्य कारकों को खोजने में अंतर्निहित कठिनाई पर निर्भर करती है।
तथाकथित सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी में उपयोग की जाने वाली संख्याएं (उदाहरण के लिए, अधिकांश ऑनलाइन गतिविधि को सुरक्षित करने वाली) आम तौर पर केवल कुछ सौ दशमलव अंक होती हैं, जो M136279841 की तुलना में छोटी है।
फिर भी, संख्या सिद्धांत में बुनियादी अनुसंधान के लाभ – अभाज्य संख्याओं के वितरण का अध्ययन करना, यह परीक्षण करने के लिए एल्गोरिदम विकसित करना कि क्या संख्याएँ अभाज्य हैं, और मिश्रित संख्याओं के कारकों का पता लगाना – अक्सर हमारे डिजिटल संचार में गोपनीयता और सुरक्षा बनाए रखने में मदद करने में नकारात्मक प्रभाव डालते हैं।
एक अंतहीन खोज
मेर्सन प्राइम वास्तव में दुर्लभ हैं: नया रिकॉर्ड पिछले रिकॉर्ड की तुलना में 16 मिलियन अंकों से अधिक बड़ा है, और यह अब तक खोजा गया केवल 52वां है।
हम जानते हैं कि अभाज्य संख्याएँ अपरिमित रूप से अनेक हैं। यह यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा 2000 वर्ष से भी पहले सिद्ध किया गया था: यदि अभाज्य संख्याओं की केवल एक सीमित संख्या होती, तो हम उन सभी को एक साथ गुणा कर सकते थे और एक जोड़ सकते थे। परिणाम हमारे द्वारा पहले ही पाए गए किसी भी अभाज्य से विभाज्य नहीं होगा, इसलिए वहां हमेशा कम से कम एक और होना चाहिए।
लेकिन हम नहीं जानते कि मेर्सन अभाज्य संख्याएं अनंत रूप से कई हैं या नहीं – हालांकि यह अनुमान लगाया गया है कि हैं। दुर्भाग्य से, वे हमारी तकनीकों का पता लगाने के लिए बहुत दुर्लभ हैं।
अभी के लिए, नया प्राइम मानवीय जिज्ञासा में एक मील का पत्थर है और एक अनुस्मारक है कि प्रौद्योगिकी के प्रभुत्व वाले युग में भी, गणितीय ब्रह्मांड में कुछ गहरे, आकर्षक रहस्य पहुंच से बाहर हैं। चुनौती बनी हुई है, गणितज्ञों और उत्साही लोगों को संख्याओं की अनंत टेपेस्ट्री में छिपे हुए पैटर्न को खोजने के लिए आमंत्रित करना।
और इसलिए पूर्णता की (गणितीय) खोज जारी रहेगी।
यह कहानी पहली बार द कन्वर्सेशन में प्रकाशित हुई थी।
सिडनी के शोधकर्ता प्रोफेसर जियोर्डी विलियमसन गणित में मौलिक रूप से नई तकनीक विकसित करने के लिए डीपमाइंड की कृत्रिम बुद्धिमत्ता का उपयोग करके ऑक्सफोर्ड में सहयोगियों के साथ काम कर रहे हैं।
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हमारा सिडनी गणितीय अनुसंधान संस्थान ऑस्ट्रेलिया में अपनी तरह का पहला संस्थान है, जो ऑस्ट्रेलियाई सहयोगियों के साथ शोध करने और जनता के साथ जुड़ने के लिए दुनिया भर के प्रमुख गणितीय वैज्ञानिकों को आकर्षित करता है।
