क्लस्टर ऑफ एक्सीलेंस गणित मुंस्टर के वैज्ञानिक भौतिकी से अनुमान सिद्ध करते हैं
स्ट्रिंग सिद्धांत का उद्देश्य ब्रह्मांड में सभी मूलभूत बलों और कणों की व्याख्या करना है – अनिवार्य रूप से, दुनिया सबसे छोटे पैमाने पर कैसे संचालित होती है। हालाँकि इसे अभी तक प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित नहीं किया गया है, स्ट्रिंग सिद्धांत में काम से पहले ही गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में महत्वपूर्ण प्रगति हुई है। मुंस्टर विश्वविद्यालय में गणित मुंस्टर क्लस्टर ऑफ एक्सीलेंस के एक शोधकर्ता डॉ. केन्सिया फेडोसोवा ने दो सह-लेखकों के साथ, इस पहेली में एक नया टुकड़ा जोड़ा है: उन्होंने तथाकथित 4-ग्रेविटॉन बिखरने से संबंधित एक अनुमान सिद्ध किया है , जिसे भौतिकविदों ने कुछ समीकरणों के लिए प्रस्तावित किया। परिणाम “प्रोसीडिंग्स ऑफ द नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज” (पीएनएएस) पत्रिका में प्रकाशित किए गए हैं।
ग्रेविटॉन गुरुत्वाकर्षण के लिए जिम्मेदार काल्पनिक कण हैं। “4-ग्रेविटॉन प्रकीर्णन को दो ग्रेविटॉन के रूप में माना जा सकता है जो अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से घूम रहे हैं जब तक कि वे एक 'ब्लैक बॉक्स' में बातचीत नहीं करते हैं और फिर दो ग्रेविटॉन के रूप में उभरते हैं,” केन्सिया फेडोसोवा अपने काम के लिए भौतिक पृष्ठभूमि प्रदान करते हुए बताती हैं। “लक्ष्य इस ब्लैक बॉक्स में क्या होता है इसकी संभावना निर्धारित करना है।” इस बिखरने की संभावना को एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है जो इसमें शामिल सभी चार गुरुत्वाकर्षणों के बारे में जानकारी पर निर्भर करता है। “हालांकि इस फ़ंक्शन का सटीक रूप ज्ञात नहीं है, हम ब्लैक बॉक्स के भीतर विशिष्ट प्रकार की बातचीत के लिए इस बिखरने वाले आयाम का अनुमान लगा सकते हैं, जब तक कि प्रक्रिया में शामिल ऊर्जा अपेक्षाकृत कम है।”
इस सन्निकटन की गणना करने के लिए, किसी अन्य चर पर इसकी निर्भरता पर भी विचार किया जाना चाहिए, अर्थात् तथाकथित स्ट्रिंग युग्मन स्थिरांक, जो स्ट्रिंग्स के बीच इंटरैक्शन की ताकत का वर्णन करता है। “हमारे शोध सेटअप में, इसकी परिभाषा का क्षेत्र स्ट्रिंग सिद्धांत और संख्या सिद्धांत को जोड़ता है,” केन्सिया फेडोसोवा बताती हैं। स्ट्रिंग युग्मन स्थिरांक को टोरस या, टोपोलॉजिकल रूप से, डोनट के आकार द्वारा दर्शाया जाता है – जिसका उपयोग इस मामले में अदृश्य आयामों को कॉम्पैक्ट करने के लिए किया जाता है। संख्या सिद्धांतकारों के लिए, स्ट्रिंग युग्मन स्थिरांक, या टोरस, एक प्रसिद्ध मॉड्यूलर सतह पर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। उत्तरार्द्ध एक घुमावदार 2-आयामी सतह है जिसमें दो शंक्वाकार और एक पुच्छल विलक्षणता होती है जिसका उपयोग गणित और भौतिकी में विशिष्ट संख्या पैटर्न और ज्यामितीय संरचनाओं का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।
स्ट्रिंग सिद्धांत के संदर्भ में मॉड्यूलर सतह पर परिभाषित फ़ंक्शन इस प्रकार उत्पन्न होते हैं। केन्सिया फेडोसोवा, किम क्लिंगर-लोगान और डेनिलो रैडचेंको ने इन कार्यों की जांच की, जिन्हें कुछ आंशिक अंतर समीकरणों को पूरा करना होगा, और 4-ग्रेविटॉन बिखरने में दिखाई देने वाले कुछ कार्यों का सही सजातीय हिस्सा पाया। किसी फ़ंक्शन की मूलभूत संरचना या व्यवहार को समझने के लिए गणित में सजातीय भाग का अक्सर उपयोग किया जाता है।
“प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए, हमने मॉड्यूलर सतह के 'अनफोल्डेड' संस्करण पर आंशिक अंतर समीकरणों को हल किया और फिर जांच की कि क्या समाधान को वापस 'फोल्ड' करना संभव है,” गणितज्ञ अपने दृष्टिकोण की व्याख्या करते हैं। इसके लिए, केन्सिया फेडोसोवा और उनके सहयोगियों को तथाकथित विभाजक कार्यों को शामिल करने वाले अनंत योगों का मूल्यांकन करने की आवश्यकता थी। इन राशियों का पहला उदाहरण भौतिकविदों द्वारा पाया गया था, और संख्यात्मक मूल्यांकन के आधार पर, यह अनुमान लगाया गया था कि वे गायब हो जाते हैं। अनुसंधान दल ने ऐसी राशियों के और भी उदाहरण खोजे। “दिलचस्प बात यह है कि, हालाँकि, अन्य राशियाँ आवश्यक रूप से गायब नहीं हुईं जैसा कि भौतिकविदों ने उम्मीद की थी। हमारे परिणाम बताते हैं कि प्रारंभिक आंशिक अंतर समीकरण के लिए भौतिकविदों द्वारा वर्तमान में विचार किए गए समीकरण की तुलना में बेहतर विकल्प होना चाहिए।”
मूल प्रकाशन
केन्सिया फेडोसोवा, किम क्लिंगर-लोगान, डैनिलो रैडचेंको (2024): भाजक योगों और मॉड्यूलर रूपों के लिए कनवल्शन पहचान। राष्ट्रीय विज्ञान अकादमी (पीएनएएस) की कार्यवाहीवॉल्यूम 121, संख्या 44, डीओआई: https://doi.org/10.1073/pnas.2322320121
